pythonic-peano-arithmetic

Peano 公理から自然数・整数・有理数・多項式を構成する学習用ライブラリです。 演算子オーバーロードを通じて「式変形ログ」を出力し、定義の追体験ができます。

目的

• Peano 公理に基づく演算の定義を、公開コードで追いやすくする
• 演算の途中式をログとして観察できるようにする

5〜10分チュートリアル（最短ルート）

小さな値だけで「定義 → ログ → 結果」を体験する最短セットです。

1) 自然数: 加法の再帰

from peano.utils import config_log
from peano.natural_number import natural_number

config_log(log_level=4, root=True)
natural_number(2) + natural_number(1)

期待ログ（抜粋）:

Level 4: <N(2)> + <N(0)> = <N(2)>
Level 4: <N(2)> + <N(1)> = NaturalNumber(pre=<N(2)> + <N(0)>)

2) 整数: 同値類の等号

from peano.integer import Integer
from peano.natural_number import natural_number

config_log(log_level=11, root=True)
Integer(natural_number(3), natural_number(1)) == Integer(natural_number(4), natural_number(2))

期待ログ（抜粋）:

Level 11: <Z(3,1)> == <Z(4,2)> = <N(3)> + <N(2)> == <N(1)> + <N(4)>

3) 有理数: 等号の交差積

from peano.rational import rational

config_log(log_level=21, root=True)
rational(1, 2) == rational(2, 4)

期待ログ（抜粋）:

Level 21: <Q(1/2)> == <Q(2/4)> = <Q(1/2)>.p * <Q(2/4)>.q == <Q(1/2)>.q * <Q(2/4)>.p

4) 多項式: 係数列の和（ログは出ません）

from peano.polynomial import Polynomial
from peano.rational import rational

str(Polynomial(rational(1, 1), rational(1, 1)) + Polynomial(rational(1, 1)))

結果例:

2/1x^0+1/1x^1

学習ルート

1. 自然数: 0 と後者から構成されること、加法/乗法の再帰を追う
2. 整数: (a,b) の同値類として差を表すことを確認する
3. 有理数: p/q の同値類と比較時の符号の扱いを追う
4. 多項式: 係数列として扱い、和/積/除算の流れを確かめる

読む順番ガイド（見どころ）

1. peano/natural_number.py: 0/後者の構成、__add__/__mul__ の再帰、set_repr/set_str
2. peano/integer.py: (a,b) による差の表現、__eq__ と normalize
3. peano/rational.py: 通分/比較の符号処理、reduction（ユークリッドの互除法）
4. peano/polynomial.py: 係数列の正規化、__floordiv__ の長除法
5. peano/utils.py: 演算ログのデコレータ

特徴

• NaturalNumber / Integer / Rational / Polynomial を実装
• peano.utils.config_logで演算ログを出力

公理/定義 ↔ 実装対応表

• 自然数の後者: S(n) は n の後者 実装: successor, NaturalNumber(pre=...)
• 自然数の加法: n+0=n, n+S(m)=S(n+m) 実装: NaturalNumber.__add__
• 自然数の乗法: n*0=0, n*S(m)=n+(n*m) 実装: NaturalNumber.__mul__
• 自然数の等号: 0=0, S(n)=S(m)↔n=m 実装: NaturalNumber.__eq__
• 整数の等号: (a,b)=(c,d) ↔ a+d=b+c 実装: Integer.__eq__
• 整数の加法/乗法: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) (a,b)*(c,d)=(ac+bd,ad+bc) 実装: Integer.__add__, Integer.__mul__
• 有理数の等号: p/q = r/s ↔ ps=qr 実装: Rational.__eq__
• 有理数の加法/乗法: p/q + r/s = (ps+qr)/(qs) p/q * r/s = (pr)/(qs) 実装: Rational.__add__, Rational.__mul__
• 多項式: 係数列 (a0,a1,...) を a0 + a1 x + ... とみなす 実装: Polynomial.__init__, Polynomial.__add__, Polynomial.__mul__

集合としての自然数（フォン・ノイマン）

• NaturalNumber.set_repr はフォン・ノイマン順序数の集合表示を返す
• NaturalNumber.set_str は可読な文字列表示に変換する

正規化と埋め込み

• 正規化:
  • Integer.normalize: (a,b) を (a-b,0) か (0,b-a) の形に寄せる
  • Rational.reduction: 分母の符号を正に寄せた上で最大公約数で約分する
  • Polynomial.__init__: 末尾の 0 係数を削除する
• 埋め込み:
  • n2z/n2r/n2p: 自然数の拡張
  • z2r/z2p: 整数の拡張
  • r2p: 有理数の拡張

同値類と正規化の図式

• 整数の同値類: (a,b) ~ (c,d) ↔ a+d=b+c 例: (3,1) ~ (4,2)（3+2=1+4）
• 有理数の同値類: p/q ~ r/s ↔ ps=qr 例: 1/2 ~ 2/4
• 正規化の向き:
  • 整数: (a,b) → (a-b,0) または (0,b-a)
  • 有理数: p/q → p'/q'（分母を正にし、最大公約数で約分）

使い方

from peano.utils import config_log
from peano.natural_number import natural_number

config_log(log_level=10, root=True)
natural_number(2) * natural_number(3)

詳細は examples.ipynb を参照してください。

ログ設計の意図

• 各演算は「結果」と「式」を返し、デコレータが式だけをログに出します。
• これにより通常の式のまま計算でき、式変形の過程だけを観察できます。
• ログを増やすための分岐はなく、演算本体は単一路線で実装しています。

ログの読み方

• log_level はしきい値です。小さいほど詳細なログが出ます。
• 例: 自然数の式変形を見たい場合は log_level=4 前後を指定します。

ログレベルの目安

• 1〜6: 自然数（例: 4=加法, 5=乗法）
• 11〜16: 整数（例: 11=等号, 15=乗法）
• 21〜26: 有理数（例: 21=等号, 24=加法）

出力例:

Level 4: <N(2)> + <N(1)> = NaturalNumber(pre=<N(2)> + <N(0)>)
Level 5: <N(2)> * <N(3)> = <N(2)> + <N(2)> * <N(3)>.pre =
  <N(2)> + <N(2)> * <N(2)>

開発

• 依存関係の更新は make update を使用します。
• Python は 3.10 以上を使用します。
• 開発用依存の追加は poetry add -G dev <package> を使用します。
• パッケージング対象は peano ディレクトリです。

テストを演習として読む

• tests/test_natural_number.py: 0 と後者から始まる定義、加法/乗法の公理テスト
• tests/test_integer.py: (a,b) の同値関係や符号付き演算の確認
• tests/test_rational.py: 通分・比較・約分の性質の確認
• tests/test_polynomial.py: 係数列の正規化と除算の確認

制約

• 再帰ベースのため大きい数は遅く、実用的ではありません
• Polynomial は最小実装で、// は長除法の商のみを返し、% や評価は未実装です

計算量/再帰深さの注意

• 再帰が深くなるため、学習用途では 10〜30 程度の小さな値を目安にしてください（100 以上は非常に遅くなります）。

注意

• rational(p, q) の q は 0 を許容しません。
• 分母は負でも入力できますが、比較と hash は分母の符号を正に正規化して扱います。
• 多項式は末尾の係数 0 を省略しても同じ多項式として扱います。
• 多項式の大小比較は「次数 → 最高次係数 → …」の辞書順です。
• natural_number は 0 以上の整数のみを受け付けます。
• Rational の hash は約分後の値に基づきます。
• 演算・比較は同型同士を前提とし、異種型は例外になる場合があります。
• 各型は不変として扱い、属性は読み取り専用です。